La maximización del beneficio

La maximización del beneficio

En este artículo presentaremos un modelo que describe como elige la empresa la cantidad que produce y el modo en que la produce. Utilizaremos el modelo según el cual la empresa elige el plan de producción que maximiza su beneficio.

Suponemos que los precios de los factores y de los productos son fijos.

Suponemos que estamos en un mercado competitivo, esto es, aquel en el que cada productor considera que NO tiene influencia sobre los precios.

Maximización del beneficio de la empresa cuyos factores de producción y productos se venden en mercados competitivos.

Los beneficios

Los beneficios son los ingresos menos los costes. Pero hemos de ser cuidadosos, y contabilizar todos los ingresos y todos los costes, a su precio de mercado.

Es importante que, si analizamos los costes de producción de una granja, ha de contabilizarse también como costes el valor de la tierra, en tanto en cuanto, si no cultivamos la tierra, podríamos alquilarla y obtener un beneficio, al que estamos renunciando ya que decidimos cultivar la tierra. El valor de la tierra a su precio de mercado es un coste a considerar en el análisis de una empresa. Igualmente con el salario del agricultor; es un beneficio de su producción que no hay que olvidar.

La organización de las empresas

En una economía capitalista, las empresas pertenencen a individuos; en ultima instancia, son sus propietarios los responsables de su conducta.

EN términos generales, existen tres tipos de empresas, según su organización:

  1. Propiedad individual. Es aquella que pertenece a una única persona.
  2. Sociedad colectiva, es aquella que pertenence a dos o mas personas.
  3. Sociedad anomina. Es aquella que pertenece a varias personas, pero que, desde el punto de vista jurídico, tiene una existencia jurídica independiente de sus propietarios.

Una empresa individual o sociedad colectiva dura lo que vivan sus propietarios; en cambio, una sociedad anónima, al tener personalidad jurídica propia, puede alargarse la vida de la empresa mas allá de la vida de la persona que sustenta su propiedad; es por esto por lo que las grandes empresas generalmente son sociedades anónimas.

Es importante señalar igualmente, que en una sociedad anónima, la propiedad y la gestión no la suelen sustentar la misma persona.

En ultima instancia, el objetivo económico de la empresa es la maximización de sus beneficios.

Factores fijos y variables

En un momento dado puede ser muy difícil ajustar algunos de los factores de la empresa, ya que normalmente tienen obligaciones contractuales para utilizar una determinada cantidad es ciertos factores. Por ejemplo, el alquiler de un edificio les obliga legalmente a comprar una determinada cantidad de espacio durante un periodo determinado. En este caso, el edificio como factor de producción, es un factor fijo. Los factores que pueden utilizarse en cantidades diferentes se denomina factor variable

Distinguimos entre corto y largo plazo dependiendo de los factores;

  • El corto plazo es el periodo de tiempo en el que existen algunos factores fijos.
  • El largo plazo es el periodo de tiempo en el que todos los factores son variables.

No existe un limite estricto entre el corto plazo y el largo plazo. El periodo exacto depende del problema que se examine. Lo importante es que algunos factores de producción son fijos a corto plazo, pero a largo plazo son todos variables (incluso el edificio del que hablábamos antes, ya que a largo plazo, después de un año, por ejemplo, puede deshacerse de él).

Por tanto, a corto plazo, la empresa esta obligada a emplear algunos factores, incluso aunque decida no producir nada (el alquiler del edificio, a corto plazo, ha de seguir pagándose). Por lo tanto, en el corto plazo, es posible que la empresa obtenga unos beneficios negativos.

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Factores cuasifijos. Categoria de factores de producción que solo es necesario pagar si la empresa decide producir una cantidad positiva. Por ejemplo, la electricidad que se usa para la iluminación. Si la empresa no produce nada, no necesita iluminación alguna, pero si produce una cantidad positiva, tiene que comprar una cantidad fija de electricidad. Los factores cuasifijos deben utilizarse en cantidades fijas, independientemente de la producción de la empresa, siempre que ésta sea positiva.

La maximización del beneficio a corto plazo

Consideremos el problema de maximización del beneficio a corto plazo cuando el factor 2 es fijo. El problema de maximización al que se enfrenta la empresa puede representarse del siguiente modo:

max pf(x1, x2) – w1x1 – w2x2, donde

  • p = precio de los productos
  • w = precio de los factores
  • x1, x2 = factores de producción

¿Cuánto del factor 1 necesitamos, para que la producción sea máxima? Recordamos; el factor 2 el fijo.

Para responder a esta pregunta podemos hacerlo mediante la igualdad:

Producto marginal del factor 1 = Precio del factor 1, algebraicamente:

pPM (x1, x2) = w

  • Si el valor del producto marginal es superior a su coste, es posible aumentar los beneficios incrementando el factor 1.
  • Si el valor del producto marginal es inferior a su coste, es posible aumentar los beneficios reduciendo el factor 1. 

Rectas isobeneficio

Las rectas isobeneficio son combinaciones de los factores y del producto que generan todas ellas, en un nivel constante de beneficio. 

Una recta isobeneficio muestra el mismo nivel de beneficios en cualquiera de sus puntos; lo que cambia es la combinación de los factores y de la producción que generan estos factores.

Cuando varia el beneficio, obtenemos una familia de rectas paralelas que tienen todas ellas una pendiente de w1/p, y una ordenada en el origen de beneficio/precio + w2(x2/p), que mide los beneficios mas los costes fijos de la empresa.

Los costes fijos son fijos, por lo que lo único que varia realmente cuando nos desplazamos de una recta isobeneficio a otra es el nivel de beneficios. Por tanto, las rectas isobeneficio que tienen ordenadas en el origen mas altas representan niveles mas altos de beneficios.

El problema de maximización del beneficio consiste, por tanto, en hallar el punto de la función de producción que corresponde a la recta isobeneficio mas alta. Este punto se caracteriza por una condición de tangencia; la pendiente de la función de producción debe ser igual a la de la recta isobeneficio.

Dado que la pendiente de la función de producción es el producto marginal, y la pendiente de la renta isobeneficio es w1/p, entonces tenemos que:

PM1 = w1/p

Estatica comparativa

¿Cómo varía la elección de los factores y los productos de una empresa cuando varian sus precios? Usemos la estativa comparativa para veriguarlo.

¿Cómo varia la elección optima del factor 1, cuando alteramos su precio, w1?

Recta isobeneficio en términos algebraicos:

y = beneficio/p + w2/p(x2) + w1/p(x1)

Utilizando la ecuación anterior, que define la recta isobeneficio, vemos que si aumentamos w1, ésta es mas inclinada. Cuando es mas inclinada, la tangencia con la función de producción debe encontrarse mas a la izquierda. Por lo tanto, debe disminuir el nivel optmo del factor 1, lo que significa que cuando aumenta su precio, debe disminuir su demanda; esto es, las curvas de demanda de los factores deben tener pendiente negativa.

¿Cómo varia la elección optima del factor 1 cuando disminuye el precio del producto, y?

Si disminuye el precio del producto, la recta isobeneficio debe ser mas inclinada. Por el mismo argumento anterior, disminuye la elección del factor 1 que maximiza el beneficio. Si disminuye la cantidad del factor 1 y a corto plazo el nivel del 2 es fijo, debe disminuir la oferta del producto. Una reducción del precio del producto debe reducir su oferta. Esto es, la curva de oferta debe tener pendiente positiva.

Por ultimo, ¿Qué ocurre si varia el precio del factor 2?

Como este análisis se refiere al corto plazo y damos por hipótesis que el factor 2 es fijo a corto plazo, la variación del precio del factor 2 no altera la elección de dicho factor. La variación de su precio NO afecta a la pendiente de la recta isobeneficio. Por lo tanto, no varia ni la elección optima del factor 1 ni la oferta del producto. Lo único que varia es el beneficio de la empresa.

La maximización del beneficio a largo plazo

A largo plazo la empresa puede elegir el nivel de todos sus factores. Por tanto, ninguno es fijo a largo plazo. El problema de la maximización del beneficio es exactamente el mismo que analizamos antes en el corto plazo, con la salvedad de que ahora todos los factores de producción son variables. 

La condición que describe la elección optima es la misma que antes, solo que ahora debemos aplicarla a cada factor.

Antes vimos que el valor del producto marginal del factor 1 debe ser igual a su precio, cualquiera que sea el nivel del factor 2. Ahora debe cumplir la misma condición en todas las elecciones de los factores:

pPM1 (x1, x2) = w1

pPM2 (x1, x2) = w2

Ambas expresiones son las curvas de demanda de los factores.

La empresa habrá elegido de forma optima sus factores de producción si el valor del producto marginal de cada uno es igual a su precio. En la elección optima, no es posible elevar los beneficios de la empresa modificando el nivel de ninguno de los dos factores.

El argumento es el mismo que a corto plazo. Por ejemplo, si pPM1 (x1, x2) > w1, utilizando una cantidad algo mayor se obtiene PM1 mas de producción, que se vende a pPM1 euros. SI el valor de esta producción es superior al coste del factor utilizado para producirla, compensa claramente aumentar la cantidad que se utiliza de dicho factor. 


La curva de demanda de un factor por parte de una empresa mide la relación entre su precio y la cantidad de ese factor que maximiza el beneficio. 

La curva de demanda inversa de un factor mide cual debe ser el precio correspondiente a un determinada cantidad demandada de dicho factor.


La curva de demanda inversa de un factor tiene pendiente negativa, a consecuencia del supuesto del producto marginal decreciente. Cualquiera que sea el nivel de x1, esta curva muestra cual debe ser el precio del factor que inducirá a la empresa a demandar ese nivel de x1, mantieniendose fijo el factor 2, x2.

La maximización del beneficio y los rendimientos de escala

Hay una importante relación entre la maximización competitiva del beneficio de la empresa y los rendimientos de escala. Supongamos que una empresa ha elegido un nivel de producción, tal como y = f(x1, x2), que alcanza el ebeneficio máximo cuando utiliza x1 y x2 factores.

En este caso, los beneficio de esta empresa serían:

Beneficios = py – w1x1 – w2x2

Esto es, los beneficios son iguales al ingreso (la cantidad de ventas, y, por su precio, p) menos los costes (coste del fator 1 por su precio, menos el coste del factor 2 por su precio).

Esta empresa, en el nivel de producción actual, se supone que está en el punto en el que los beneficios son máximos.

Supongamos que esta empresa posee rendimientos constantes de escala, por lo que podemos decir que si duplicamos la cantidad de factor utilizados, se duplicaría también la producción. Y los beneficios, también se duplicarían. Pero… Esto es incompatible, ya que contradice el supuesto de que la combinación inicial de factores maximizaba el beneficio (si tras duplicarlos los beneficios son mayores, entonces antes de duplicarlos NO se obtenia el máximo beneficio posible).

Claro… llegamos a esta contradicción suponiendo que el nivel inicial de beneficios era positivo. Si la empresa tiene beneficios de 10, duplicando su beneficio al duplicar sus factores obtendríamos beneficios por valor de 20. Pero si el beneficio de la empresa fuese cero, entonces no habría ningún problema: cero multipliado por dos es cero.

Esto muestra que, una empresa que:

  1. Opere en un mercado competitivo
  2. Tenga rendimientos de escala constantes en todos sus niveles de producción

El único nivel de beneficio que es razonable para la empresa a largo plazo es cero.

Pero… ¿Cómo es posible que a largo plazo las empresas solo puedan obtener beneficios nulos?

Imaginemos que ocurriría si una empresa tratara de expandirse indefinidamente. Podrían ocurrir tres cosas:

  1. En primer lugar, podría expandirse tanto que no pudiera funcionar eficientemente, surgiendo problemas de coordinación, por lo que no tendría rendimientos constantes de escala en todos sus niveles de producción. A la larga, podría entrar en una zona de rendimientos decrecientes de escala.
  2. En segundo lugar, la empresa podría expandirse tanto que dominara totalmente el mercado de su producto. En este caso, se convertiría en un monopolio, y ya no estaríamos hablando de un mercado competitivo.
  3. En tercer lugar, si una empresa puede obtener beneficios positivos con una tecnología que tenga rendimientos constantes de escala, cualquier otra empresa puede utilizar esa misma tecnología. Si una empresa desea aumentar su producción, bajará su precio, y disminuirán los beneficios de todas las empresas de la industria.

Por tanto, el único nivel de beneficio que es viable para la empresa (en un contexto competitivo y con rendimientos constantes de escala) a largo plazo es cero. 

La rentabilidad revelada

Supongamos que observamos dos decisiones que toma la empresa, con dos conjuntos distintos de precios. Existen dos momentos temporales, t y s. Si la función de producción no varia entre estos dos momentos y si la empresa es maximizadora del beneficio, entonces:

Donde:

p = precio del producto; y = producción; w = precio del factor de producción; x = factor de producción

Lo que significa que:

  1. Los beneficios obtenidos por la empresa que se enfrente a los precios del periodo t deben ser mayores que si utilizase el plan* del periodo s, y viceversa;
  2. Los beneficios obtenidos por la empresa que se enfrente a los precios del periodo s deben ser superiores que si utilizase el plan* del periodo t.

Plan: cantidad de factores y producto

El cumplimiento de las dos desigualdades es un axioma de la conducta maximizadora del beneficio, lo qwue conocemos como el axioma débil de la maximización del beneficio. Si se violara este principio (las dos desigualdades), no podría ser una empresa maximizadora del beneficio.

Por tanto, ya sabemos que si alguna vez observaramos dos periodos de tiempo de una empresa en los que se incumplieran estas desigualdades, sabremos que la empresa no estaba maximizando los beneficios.

Y recordamos! Siempre y cuando la empresa no varíe la tecnología, esto es, su función de producción.

Si las decisiones de la empresa satisfacen el axioma débil de la maximización del beneficio podemos extraer una útil conclusión acerca de las demandas de los factores y las ofertas de productos cuando varian los precios.

Definamos la variación de los precios y la variación de la producción (a partir de las dos desigualdades del axioma débil de la maximización del beneficio), y tenemos que:

Esta ecuación nos dice que la variación del precio del producto multiplicado por la variación de la producción, menos la variación del precio de los factores multiplicado por la variación de los factores, debe ser no negativo.

Y con esta ecuación podemos obtenemos múltiples conclusiones:

  • Supongamos que varía el precio del producto al que la empresa vende, manteniéndose constante el precio de cada factor de producción. ¿Qué pasa con la producción?

Solo varía el precio del producto y la producción. La cantidad de factores de producción, asi como su precio, no varía, por tanto, de la anterior ecuación, quedándonos solo con lo que varía, tenemos que:

Esto es;

  1. Si sube el precio del producto, la variación de la producción no puede ser negativa.
  2. Si baja el precio del producto, la variación de la producción no puede ser positiva.

Lo que significa que la curva de oferta de una empresa competitiva maximizadora del beneficio debe tener pendiente positiva o, al menos, nula. 

  • Supongamos ahora que varía el precio del factor de producción 1, manteniéndose constante el precio del factor 2 y el precio del producto que vende la empresa.

En este caso, solo varia el precio de un factor de producción, del 1, por lo que tenemos que:

Así pues:

  1. Si sube el precio del factor 1, la ecuación implica una disminución de la demanda del factor 1, o, en su caso mas extremo, una constancia.
  2. Si baja el precio del factor 1, la ecuación implica un aumento de la demanda del factor 1, o, en su caso mas extremo, una constancia.

Esto significa que la curva de demanda de los factores debe ser una función decreciente de su precio; las curvas de demanda de los factores tienen pendiente negativa. 


La desigualdad del axioma débil de la conducta maximizadora del beneficio es algo observable en la conducta de la empresa. Por ello, a partir de la observación de las decisiones que toma la empresa, podemos describir la tecnología con la que las decisiones observadas son maximizadoras del beneficio.

Para ilustrar gráficamente la tecnología que usa la empresa, partamos del supuesto de que solo hay un factor de produccio, y una decisión, observada en t y en s.

Calculemos los beneficios de cada período, de la siguiente manera:

A continuación, trazamos todas las combinaciones de y (producción) y de x1 (factor de producción) que generan esos beneficios.

El axioma débil de la conducta maximizadora del beneficio exige que la combinación elegida en el periodo t se encuentre por debajo de la recta isobeneficio del periodo s, y que la combinación elegida en el periodo s se encuentre por debajo de la recta isobeneficio del periodo t.

Si se satisface las condición del axioma débil de la conducta maximizadora de la empresa, podemos encontrar una tecnología que maximice los beneficios tomando el área sombreada que se encuentra bajo las dos rectas isobeneficio. Éstas son todas las elecciones que generan menos beneficios que las elecciones observadas con ambos conjuntos de precios.

Siempre hay que buscar la recta isobeneficio más alta.


Ejercicios

  • A corto plazo, si se sube el precio del factor fijo, ¿qué ocurre con los beneficios?

Los beneficios se verán reducidos debido al incremento del coste del factor fijo. Por otro lado, ni el nivel de producción ni la cantidad utilizada del factor variable se ven alterados.

  • Supongamos que una empresa esta maximizando los beneficios a corto plazo con un factor variable, x1, y un factor fijo, x2. Si baja el precio de x2, ¿Qué ocurre con la cantidad de x1 utilizada por la empresa? ¿Y con el nivel de beneficios de dicha empresa?

Exactamente lo mismo que el ejercicio anterior, pero desde la perspectiva contraria. Como ahora lo que hay es una reducción del precio del factor fijo, el volumen de beneficios crecerá.

Respecto a la cantidad del factor variable, permanecerá constante.

  • Si pPM1 > w1, ¿la empresa debe aumentar la cantidad del factor 1 para obtener mas beneficios, o reducirla?

Si pPM1 > w1, significa que el valor de producto marginal del factor 1 es superior a su precio. Por consiguiente, se pueden aumentar los beneficios aumentando la cantidad empleada de este factor hasta un punto en el que, al caer su productividad marginal, el valor de esta última sea exactamente igual al precio del factor en cuestión.

Fuente: Micreconomía intermedia, Hal R. Varian

Gráficos: d’Economía.es